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走近黎曼猜想,提高今日的吃瓜水平

2018-9-25 10:13| 发布者: 炼数成金_小数| 查看: 17435| 评论: 0|原作者: 李中梁|来自: 机器学习算法工程师

摘要: 近日,菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主、英国皇家学会前主席迈克尔·阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想,他将在9月24日的海德堡获奖者论坛上进行宣讲,届时或将给出黎曼猜想的全部证明过程。

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导言
近日,菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主、英国皇家学会前主席迈克尔·阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想,他将在9月24日的海德堡获奖者论坛上进行宣讲,届时或将给出黎曼猜想的全部证明过程。

吃瓜之前先来了解下什么是黎曼猜想,黎曼猜想的证明对现实社会有什么影响,提高一下自己的吃瓜水平~

什么是黎曼猜想
给定如下函数(Riemann zeta function)

ζ(s)= 1 + 1 / 2^S + 1 / 3^S + 1 / 4^S + …;
也可以写成:

黎曼猜想:ζ(s)的非平凡零点很可能全部位于实部等于1/2的直线上。

关于ζ(s)函数
例如,我们令ζ(s)函数的s为1,那么可以得到下面这个等式:


还可以令s为4,那么就得到:

现在,我们考虑s为复数的情况:
首先想想一个复平面上有无数个点,,s可以等于其中任何一个数,然后经过ζ(s)函数的变换得到一个新的点(注意,新的点仍然是在复平面上的),如果我们用蓝色标记原来复平面上的点,黄色和粉色来标记变换后的点,可以得到如下图像:


注意靠左边垂直于实轴的那条亮黄线,变换后所有的点都在这条线的右侧,而黎曼猜想的就是所有非平凡零点全部落在临界带的正中央,即实部为1/2的数所构成的直线上,它也被称为临界线,如下图所示:


黎曼猜想的进展
1903年,丹麦数学家第一次算出了前15个非平凡零点的具体数值。在黎曼猜想公布44年后,人们终于看到了零点的模样。毫无意外的是,这些零点的实部全部都是0.5。

1925年,李特尔伍德(Littlewood)和哈代(Hardy)改进了计算方法,算出前138个零点,这基本达到了人类计算能力的极限。

1966年,非平凡零点已经验证到了350万个。20年后,计算机已经能够算出Zeta函数前15亿个非平凡零点,这些零点无一例外地都满足黎曼猜想。

2004年,这一记录达到了8500亿。的成果是法国团队用改进的算法,将黎曼Zeta函数的零点计算出了前10万亿个,仍然没有发现反例。

2018年9月24日,黎曼猜想可能被证明。

黎曼猜想的现实意义
在目前数学论文的诸多研究中,现有很多数学命题都是以黎曼猜想及推广形式的成立作为基础和前提,据调查统计,这样的命题数量有一千余个之多,这也就意味着,如果黎曼猜想被成功证明,那么这上千个数学命题与理论将会荣升为“定理”。

同样,黎曼猜想对我们了解素数的分布规律有重大的意义。

此外,黎曼猜想的证明方法将带来新的破译密码方法,但不一定能瓦解目前的加密方案。

可以说,黎曼猜想关乎的不仅仅是一个Zeta函数非零点分布这样最纯粹的数学性质,而是展示了素数这一群体在自然数序列里优雅律动的舞姿。

参考资料
黎曼猜想即将解开,世界线会改变吗?(http://tech.qq.com/a/20180922/001420.htm)
【官方双语】黎曼ζ函数与解析延拓的可视化(https://www.bilibili.com/video/av8726217)

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