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武汉肺炎传播的多种数学模型

2020-2-1 15:42| 发布者: 炼数成金_小数| 查看: 17412| 评论: 1|原作者: 大模头|来自: 数学模型

摘要: 2019 年 12 月在武汉市发现有人感染了一种新型冠状病毒肺炎,这种病毒被命名为 2019-nCov,这种新型肺炎也被称为“武汉肺炎”。随后的几十天内,该肺炎迅速蔓延至全国其它省份及全球其它国家。截至 2020 年 1 月 29 ...
引言
2019 年 12 月在武汉市发现有人感染了一种新型冠状病毒肺炎,这种病毒被命名为 2019-nCov,这种新型肺炎也被称为“武汉肺炎”。随后的几十天内,该肺炎迅速蔓延至全国其它省份及全球其它国家。截至 2020 年 1 月 29 日,全球已经确诊近 6,140 例,其中中国大陆占 6,051 例,死亡 132 例 [1]。

图 1(a): 新型冠状病毒肺炎全国分布图(1月29日)[2]

图 1(b): 新型冠状病毒肺炎世界分布图(1月28日)[2]
一周内网络出现了大量研究新型冠状病毒传播的数学模型 [3-6],大模头参考了这些模型,针对武汉新型冠状病毒,分别构建了回溯传播模型、SIR 模型、SEIR 模型和元胞自动机模型。模型和模拟结果表明:

武汉在 2020 年 1 月 18 日感染人数可能就已经超过 2700 人。
如果不加控制,武汉市疫情在 3 月上旬左右达到高峰,4 月中旬接近尾声,最终死亡人数将超过 32 万人。
以当前政府的管控力度,预计武汉累计感染人数将控制在 25000 人以内,累计死亡人数将控制在 720 人以内。
新型冠狀病毒基本传染数约为 3.6,大于非典和埃博拉。

以上结论是大模头基于有限的数据和理想的模型得到的,不代表真实情况,请各位模友自行判断可信性。

回溯传播模型
几乎所有新病毒造成的传染病都会存在疫源地遗漏病例的情况,随着诊断方法的发展和分发,病例的确诊会得到优化,而且监管也会得到加强。而那些尚未受到影响的国家已经处于警戒状态,且更有可能发现偶发输入的病例。因为我们知道每天从武汉飞往中国大陆以外目的地的人数,我们便能计算任何 2019-nCov 感染病例无意间飞往海外的可能性。通过回溯海外检出病例可以评估武汉疫情的可能真实规模。我们做出如下假设:

多国对来自武汉旅客增设入境筛查主要开始于 1 月 15 日 [7],假设截至 1 月 16 日前未病发旅客能够自由离境、且随机分布在离境与未离境人口中。
假设从武汉飞往中国大陆以外目的地的病例都在其目的地被确诊。很可能不是这样。如果某些国家漏掉了少量病例,将导致我们低估武汉肺炎病例的数量。

结果
根据以上模型和参数,我们可以估算截止 2020 年 1 月 18 日武汉因新病毒引起症状的人数应为

而 2020 年 1 月 18 日国内报道的确诊病例只有 136 人,如果模型计算是可信的,那么报道出来的只占实际的 5 %。以上估计所用的回溯传播模型主要源于英国帝国理工学院的全球传染疾病分析中心发布的关于武汉市内新型冠状病毒潜在病例总数的第二份报告 [3]。由于不确定因素较多,该估算存在多处局限,不确定的范围约是 1000-10000。以同样的方式可以估计出 2020 年 1 月 12 日武汉因新病毒引起症状的人数应为 1182。

SIR 模型
在往期的推文中,我们已经介绍过 SIR 模型,详情见《如果没有国家管控,北京鼠疫将如何漫延?》。这里我们再简单回顾一下该模型。SIR 模型中涉及三种人群:易感人群(Susceptible),感染人群(Infective)和移除人群(Removed)。易感人群指未得病者,但缺乏免疫能力,与感染者接触后容易受到感染。感染人群指染上传染病的人。移除人群是因病愈(具有免疫力)或死亡而不再参与感染和被感染过程的人。

参数

 

结果
如果仅对武汉进行封城,并不对肺炎病人的城内活动进行限制,则模拟结果如图 3 所示,模拟所用程序见附录代码 3。图中的第 0 天对应着发现第一个病例的时间,即 2019 年 12 月 8 日。图 3(a) 是根据官方数据拟合的 SIR 模型结果,从图中可以看出,疫情 70 天左右开始集中爆发(2月10日左右),120 天左右达到高峰(4月上旬),150 天后接近尾声(5 月上旬),最终死亡人数将超过 30 万人。图 3(b) 是根据回溯传播模型估算数据拟合的 SIR 模型结果,从图中可以看出,疫情 50 天左右开始集中爆发(1月20日左右),90 天左右达到高峰(3月上旬),130 天后接近尾声(4 月中旬),最终死亡人数将超过 32 万人。

实际上,我国政府在 1 月 23 日不仅对武汉进行封城,也对武汉内的交通进行了限制,并关闭了各种不必要的公共场所。我们可以通过调整感染者每天平均接触到的人数  来模拟政府管控的力度,图 4 显示了不同管控强度的模拟结果。模拟所用程序见附录代码 4。

SIER 模型
在 SIR 模型的基础上,大模头将构建包含感染并处于潜伏期人群的 SIER 模型。SIER 将人群分为四类:易感人群(Susceptible),潜伏人群(Enfective),隔离(确诊)人群(Infective)和移除人群(Removed)。

结果
由于在 SIR 模型中已经讨论过政府不同管控力度的情况,这里不再细致讨论。图 6 是 SIER 模型的结果。


对于像武汉肺炎这种大规模的传染病问题,大模头并不推荐用元胞自动机模型进行模拟。元胞自动机更适合于模拟空间上的火灾问题,详情见《澳洲变燠洲,考拉成烤拉!澳大利亚山火为什么难以控制?》。尽管如此,应用元胞自动机模拟传染病相比于 SIR 和 SEIR 模型也有自身优点,例如可以考虑传染病空间上的传播特点。现在武汉不仅封城,城内的公共交通也被停掉了,肺炎的传播只能在染病者周边进行,这一点非常适合元胞自动机进行模拟。我们参考 SEIR 模型,构造如图 7 所示的元胞自动机模型。

图 7: 传染病元胞自动机模型

系统中包含四种元胞状态,分别为易感、潜伏、感染和移除。元胞自动机的规则如下:
如果易感元胞  的东、南、西、北四个邻居中有潜伏元胞,则易感元胞下一时刻以概率  转变为潜伏元胞 。
潜伏元胞  经过  个时间步后转变为感染元胞 。
感染元胞  经过  个时间步后转变为移除者 。

参数
在元胞自动机模型中假设平均潜伏期  天,平均治愈时间  天。在 SIR 模型中,我们估算了 ,因此假设每个潜伏元胞在潜伏期内平均能感染 4 个邻居中的 3.6 个,因此每一个时间步邻居被感染的概率为

实际模拟中,我们随机地设置了每个元胞的潜伏期和治愈时间,并分别服从  和  的正态分布。

结果
我们应用上述元胞自动机模型对  的空间进行模拟,初始时刻有一定比例的元胞为潜伏状态。模拟结果如图 8 所示,所使用的程序见附录代码 6。图 8(b) 所示的四种人群随时间的变化与 SIR 和 SEIR 模型给出的非常相似,这也证明了元胞自动机确实能够模拟传染病的流行。

图 8(a): 元胞空间状态变化

结论
回溯传播模型结果表明,武汉在 2020 年 1 月 18 日感染人数可能就已经超过 2700 人,报道出来的确诊案例只占实际的 5 %。

SIR 模型表明,如果不加控制武汉市疫情在 1 月 20 日左右爆发,3 月上旬左右达到高峰,4 月中旬接近尾声,最终死亡人数将超过 32 万人。

考虑到目前政府的管控,预计武汉累计感染人数将控制在 25000 人以内,累计死亡人数将控制在 720 人以内。如果政府有进一步的措施,比如研制新药、疫苗等,实际感染和死亡人数可能比模型预测少。

根据数据拟合,新型冠狀病毒基本传染数约为 3.6,大于非典和埃博拉。

参考资料
[1]2019–20 Wuhan coronavirus outbreak: https://en.wikipedia.org/wiki/2019–20_Wuhan_coronavirus_outbreak,
[2]Walter Stanish, 2019 Wuhan Coronavirus data (2019-nCoV): https://github.com/globalcitizen/2019-wuhan-coronavirus-data,
[3]Estimating the potential total number of novel Coronavirus cases in Wuhan City, China: https://www.imperial.ac.uk/media/imperial-college/medicine/sph/ide/gida-fellowships/2019-nCoV-outbreak-report-17-01-2020.pdf,
[4]Novel coronavirus 2019-nCoV: early estimation of epidemiological parameters and epidemic predictions: https://www.medrxiv.org/content/10.1101/2020.01.23.20018549v1,
[5]吴翔, 2019-nCoV 疫情传播模型: https://github.com/wuhsiang/2019-nCoV-diffusion,
[6]Estimating Infected Population of Wuhan Coronavirus in different policy scenarios by SIR Model: http://uni-goettingen.de/en/infectious+diseases/619691.html,
[7]Nowcasting and forecasting the Wuhan 2019-nCoV outbreak: http://www.nhc.gov.cn,
[8]武汉市市长:约500多万人离开了武汉: http://news.china.com.cn/2020-01/26/content_75650784.htm,
[9]The first imported case of the novel coronavirus (2019-nCoV) in Korea: https://www.cdc.go.kr/board/board.es?mid=a30402000000&bid=0030&act=view&list_no=365797&tag=&nPage=1,
[10]Novel Coronavirus – Thailand (ex-China): https://www.who.int/csr/don/14-january-2020-novel-coronavirus-thailand-ex-china,
[11]新型コロナウイルスに関連した肺炎の患者の発生について: https://www.mhlw.go.jp/stf/newpage_08906.html,
[12]Pneumonia of Unknown Etiology in Wuhan, China: Potential for International Spread Via Commercial Air Travel: https://academic.oup.com/jtm/advance-article/doi/10.1093/jtm/taaa008/5704418,
[13]新型冠状病毒感染肺炎疫情实时动态: http://m.medsci.cn/wh.asp,
[14]根据目前数据,再次分析武汉新冠肺炎患者数量和死亡率: https://user.guancha.cn/main/content?id=232461,
[15]Basic reproduction number: https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_reproduction_number,
[16]武汉市长承认信息披露不及时:获授权后我才能披露: http://news.sina.com.cn/c/2020-01-27/doc-iihnzhha4927544.shtml,

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引用 邵秋丹 2020-2-11 19:20
作者代码可以分享吗?如果可以的话这是我邮箱1728002456@qq.com,如果要保密的话就不用管我,嘻嘻

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